Dimensionsanalyse

In der Physik betrachten wir verschiedene physikalische Dimensionen und Einheiten. Dabei ist hier unter Dimension keineswegs eine räumliche Dimension (1D, 2D, 3D) oder gar die vierdimensionale Raumzeit gemeint. Unter Dimension versteht man die reine qualitative Eigenschaft einer Größe. Die Einheit wiederum ist direkt mit Größenordnungen verknüpft. Beispielsweise können wir die zurückgelegte Strecke eines Flugzeugs, die Wellenlänge von Radio-Wellen und den Durchmesser von Atomen betrachten. Alle drei Größen haben die Dimension Länge. Die Einheiten, in denen sie typischerweise angegeben werden, unterscheiden sich jedoch. So sind es beim Flugzeug Kilometer (km $=10^3\,$ m), bei den Radiowellen Meter oder Zentimeter (m oder cm $=10^{-2}\,$ m) und bei dem Durchmesser von Atomen Nanometer (nm $=10^{-9}\,$ m).

Wenn man weiß, von welchen physikalischen Größen eine weitere Größe abhängt, kann man per Dimensionsanalyse eine Formel probeweise erraten. Dabei sind aber folgende Punkte dringend zu beachten:

Die Dimensionsanalyse kann keine Werte von Konstanten ermitteln. Beispielsweise weiß ich, dass der Flächeninhalt eines Kreises proportional zu dem Quadrat des Radius ist ( $A_{\text{Kreis}}\sim r^2$ ). Jedoch kann ich so nicht erahnen, dass hier noch der Vorfaktor $\pi$ notwendig ist, um die vollständige Formel zu erhalten ( $A_{\text{Kreis}}=\pi r^2$ ).
Diese Konstanten können (nicht immer) über andere Herleitungen ermittelt werden, müssen aber zwangsweise in Experimenten ermittelt werden.
Da man sich nicht unbedingt sicher sein kann, dass man keine weitere abhängige Größe vergessen hat, ist eine mathematische/physikalische Herleitung der Formel und besonders Experimente zur Überprüfung unerlässlich.

Beispiel

Wir vermuten, dass die kinetische Energie eines Teilchens von der Masse $m$ und der Geschwindigkeit $v$ des Teilchens abhängen. Wir vermuten also

E_{kin} \sim m^\alpha \cdot v^\beta \,.

Nun gilt es, die Koeffizienten $\alpha \text{ und } \beta$ zu bestimmen.
Wir wissen, dass die Energie die Dimension $M \cdot L^2 \cdot T^{-2}$ hat. Dabei ist $M$ die Masse, $L$ die Länge und $T$ die Zeit. Da die Masse $m$ die Dimension $M$ und die Geschwindigkeit $v$ die Dimension $L^2 \cdot t^{-2}$ hat, muss gelten

\alpha=1 \,,\ \beta=2 \quad \Rightarrow \quad E_{kin} \sim m \cdot v^2

Natürlich kennen wir aus der Schule $E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2$ , jedoch ist der Faktor $\frac{1}{2}$ nicht aus der Dimensionsanalyse abzulesen.