Differential-Gleichungen

Notwendiges Vorwissen

Für dieses Kapitel wird folgendes Grundwissen vorausgesetzt:

Grundlagen

Aus der Schule kennt jeder das Konzept von Gleichungen. Wir können beispielsweise alle Lösungen der Gleichung

x^2-2x-3 = 0

durch die allseits bekannte \(pq\)-Formel berechnen. Diese ergibt x_1 = -1 \,, \ x_2 = 3 .

Wir können aber auch eine Gleichung mit Funktionen und ihren Ableitungen aufstellen und alle Funktionen finden, die diese Gleichung erfüllen.
Da in solch einer Gleichung Ableitungen, also Differential-Quotinten vorkommen, werden diese Gleichungen Differential-Gleichungen (DGLs) genannt.

Eine der einfachsten Differential-Gleichungen, mit denen man häufig als Erstes im Studium konfrontiert wird, lautet

\ddot h = -g \,.

Dabei stellt \(h\) die Höhe dar, während \(g\) eine konstante Zahl ist. Die DGL sagt also aus, dass die Beschleunigung der Höhen-Koordinate eines Körpers konstant sei. Dies ist erst mal eine Annahme, welche durch Messungen bewiesen werden muss. In unseren alltäglichen Maßstäben kann diese Annahme auch experimentell bestätigt werden.
Aber wie macht man das? Zuerst kann die Differential-Gleichung durch Integration gelöst werden. Dabei sollte bekannt sein, dass die Integration als Umkehroperation zur Ableitung gesehen werden kann. Das bedeutet, wenn wir beide Seiten dieser Gleichung 2 Mal zeitlich integrieren, erhalten wir auf der linken Seite eine Funktion für \(h\) und rechts ihren Ausdruck.
Die erste Integration auf beiden Seiten liefert:

\begin{align} \int \ddot h(t) \, dt &= – \int g \, dt \\ \dot h(t) + \tilde c_1 &= -gt + c_1′ \quad | -\tilde c_1 \text{ auf beiden Seiten und nutze } c_1′-\tilde c_1 =: c_1 \\ \dot h(t) &= -gt + c_1 \end{align}

Die Integration liefert auf beiden Seiten jeweils eine Konstante. Diese kann man jedoch zusammenfassen, da \text{Konstante}-\text{Konstante}=\text{Konstante} .
Dies kann nun wiederholt angewendet werden:

\begin{align} \int \dot h(t) \, dt &= -\int gt \, dt + \int c_1 \, dt \\ h(t) &= -\dfrac{1}{2} gt^2 + c_1 t + c_2 \end{align}

Das ist erst mal die allgemeine Lösung der Differential-Gleicheung.
Wir können aber noch zusätzlich Anfangsbedingungen einsetzen. Wenn ein Körper fällt, soll dieser zum Zeitpunkt t_0=0 die Höhe h(t_0)=h_0 haben. Und gleichzeitig soll dieser Körper zum Zeitpunkt t_0=0 die Geschwindigkeit \dot h(t_0)=v_0 haben. Durch Einsetzen ergibt sich:

\begin{align} h(t_0) &= h(0) = 0+0+c_2 \overset{!}{=} h_0 \\ \dot h(t_0) &= \dot h(0) = 0+c_1 \overset{!}{=} v_0 \\ \Rightarrow \quad h(t) &= -\dfrac{1}{2} gt^2+v_0 t+h_0 \end{align}

Und diese Gleichung sollte den meisten aus der Schule bekannt vorkommen. Das ist die Bewegungsgleichung eines Körpers für seine Höhe \(h(t)\), während dieser gleichmäßig nach unten beschleunigt wird.

Und um nun die Behauptung, dass Körper auf der Erde in unseren Maßstäben gleichmäßig beschleunigt fallen, experimentell zu überprüfen, kann man in einem Experiment die Höhe eines Körpers in Abhängigkeit der Zeit messen, und die daraus gewonnenen Messdaten mit den aus der Gleichung h(t) = -\frac{1}{2}gt^2+v_0t+h_0 vorgesagten Messdaten vergleichen.

Gewöhnliche, lineare DGLs

Gewöhnliche Differentialgleichungen sind…

Verweise

Zum Thema „Differentialgleichungen“ verweisen wir gerne auf