Wegintegral

Zuerst bilden wir die Ableitung von \(\vec \gamma(t)\) nach \(t\). Diese lautet
\dot{\vec \gamma}(t) = \begin{pmatrix} 1/2 – 2 \cos(t) \\ -1/5 \end{pmatrix} \,.

Nun setzen wir in unser Vektorfeld \(\vec F\) den Weg ein. Dabei setzt man in alle \(x\)-Variablen des Vektorfeldes die \(x\)-Komponente des Weges ein. Das selbe macht man mit der \(y\)-Variablen des Vektorfeldes und der y-Komponente des Weges.
Hinweis: Die \(x\)- und \(y\)-Variablen sind immer dort, wo explizit ein \(x\) oder ein \(y\) steht. Die Komponenten eines Vektors sind die einzelnen Zeilen des Vektors.
Somit ergibt sich
\vec F(\vec \gamma(t)) = \begin{pmatrix} -\sin\left( \frac{t}{10} \right) \\ \cos\left( \frac{t}{4} – sin(t) \right) – \frac{t}{40} \end{pmatrix} \,.
Dabei wurde \(\sin(x) = -\sin(-x)\) genutzt.

Nun haben wir alle Faktoren, die wir brauchen, um das Wegintegral auszurechnen.
Mit obiger Definition des Wegintegrals ergibt sich

Nun tritt das Problem auf, dass dieses Integral wegen dem Term \( \frac{1}{5} \cos \left(\frac{t}{4} – \sin(t)\right)  \) nicht analytisch lösbar ist. Wir müssen es also nummerisch lösen. Dies kann über selbst geschriebene Programme erfolgen (dies lernt man an der Georg-August-Universität in Göttingen in der Veranstaltung „Computergestütztes wissenschaftliches Rechnen“) oder man nutzt Wolfram Alpha.
Um das Integral in einem Intervall nummerisch mit der Hilfe von Wolfram Alpha zu lösen, benötigen wir feste Zahlen als Grenzen. Wir wählen hier willkürlich das Intervall \(t \in [5, 7] \). Damit ergibt sich

\[ \int_\gamma \vec F \cdot d\vec s \approx 1,41 \]

Der Befehl für Wolfram Alpha lautet hierbei „integrate [-0.5*sin(t/10) + 2*sin(t/10)*cos(t) – 1/5*cos(t/4-sin(t)) + t/200] dt from 5 to 7“

Wäre das Integral analytisch lösbar, würde man die Stammfunktion, wie aus der Schule gewohnt, ausrechnen, die Grenzen einsetzen, und das Ergebnis erhalten.

Es folgt ein Code-Beispiel, um das zu lösende Integral im willkürlich gewählten Intervall nummerisch mit Hilfe eines C-Programms zu lösen. Dazu sind Rechnungen und Umformung aus der obigen Lösung nötig.
Der Code kann in eine filename.c-Datei kopiert werden, und mit dem Befehl

gcc filename.c -o filename -lm; ./filename

in einem Terminal ausgeführt werden.

Code:

/* —– Bibliotheken —– */
#include<stdio.h>
#include<math.h>

/* —– Funktionen —– */
/* Nummerische Integration */
double riemann(double start, double end, int N, double funk(double)){
/*
Das Riemann-Verfahren ist ein einfaches nummerisches Verfahren
um die Fläche unterhalb einer Funktion auszurechnen.
Viele sollten es schon aus der Schule kennen.
*/
double intervall = (end-start)/N;
double sum = 0;

for(int i = 0; i < N; i++){
sum += funk(start + i * intervall);
}

sum *= intervall;
return sum;
}

double simpson(double start, double end, int N, double funk(double)){
/*
Das Simpson-Verfahren ist ein recht genaues nummerisches Verfahren
für nummerischen Integration; wesentlich genauer als das Riemann-Verfahren
welches viele aus der Schule kennen.
*/
double delta = (end-start)/N;
double sum = 0;

for (int i = 0; i < N; i++) {
sum += funk(start+i*delta) + funk(start+(i+1)*delta) + 4*funk(start+i*delta+delta/2.0);
}
sum *= delta/6;

return sum;
}

/* Integrand */
double f(double t){
return -0.5*sin(t/10) + 2*sin(t/10)*cos(t) – 1/5 * cos(t/4 – sin(t)) + t/200;
}

/* ===== Main-Funktion ===== */
int main(){

double a = 5;
double b = 7;

double flaeche = simpson(a, b, 10000, f); // ’simpson‘ kann durch ‚riemann‘ ersetzt werden, um anderes Verfahren zu testen.

printf(„Das Wegintegral für das Intervall [5,7] beträgt %lf.\n“, flaeche);

}