Koordinatensysteme

Während ich in kartesischen Koordinaten einen Punkt in seine horizontale und vertikale Komponente unterteile, unterteilt man in Polarkoordinaten einen Punkt in seinen Abstand zum Ursprung \(r\) und seinem Winkel zur horizontalen Achse \(\varphi\). Der Winkel ist dabei, wie immer in der Mathematik, gegen den Uhrzeigersinn orientiert.
Zwischen den Polar-Koordinaten und den kartesischen Koordinaten gilt folgende Zusammenhänge:

Im Folgenden ist ein Video zu sehen, in dem sich ein Punkt auf einer Ellipse bewegt. Dies ist sowohl in kartesischen Koordinaten, also auch Polar-Koordinaten dargestellt.
Denken wir der Einfachheit halber erst ein mal in einer Kreisbahn. Hier würden die \(x\)- und \(y\)-Koordinaten eine Cosinus- bzw. Sinus-Kurve ergeben, da der Punkt überall denselben Abstand zum Ursprung \(r\) hat. \(r\) wäre also konstant.
In einer elliptischen Bewegung wiederum werden die \(x\)- und \(y\)-Koordinate jeweils durch eine gestreckte bzw. gestauchte Cosinus- bzw. Sinus-Kurve dargestellt, da sich der Abstand zum Ursprung \(r\) im Laufe der Zeit ändert. Dies ist auch an dem \(r\)-\(t\)-Graphen gut zu erkennen. Bei einer Kreisbahn wäre dieser Graph eine Konstante, mit dem Abstand zum Ursprung als Wert. Da sich der Abstand zum Ursprung bei einer elliptischen Bewegung jedoch im Laufe der Zeit ändert, ergibt sich hier eine periodische Funktion.
Der Winkel \(\varphi\) wiederum, welche im Bogenmaß Element des Intervalls \([0, 2\pi]\) ist, weist eine gewisse Periodizität auf, ist jedoch keine stetige Funktion, da sie von dem Wert \(2\pi\) auf den Wert \(0\) springen muss, wenn der Punkt die positive horizontale Achse schneidet.